| Er zijn verschillende manieren om aan te tonen dat een taal contextvrij is. Hier volgt een overzicht van veelgebruikte technieken en overwegingen:
1. Zorg voor een contextvrije grammatica (CFG):
* De meest directe en meest gebruikte methode. Als je een CFG kunt ontwerpen die *precies* de tekenreeksen in de taal genereert, heb je bewezen dat deze contextvrij is.
* CFG-definitie: Een CFG bestaat uit:
* *Niet-terminals (variabelen):* Weergegeven door hoofdletters (bijvoorbeeld `S`, `A`, `B`).
* *Terminals:* De alfabetsymbolen van de taal (bijvoorbeeld `a`, `b`, `0`, `1`).
* *Startsymbool:* Een onderscheidende niet-terminal (meestal `S`).
* *Productieregels:* Regels in de vorm `Niet-terminal -> String van terminals en/of niet-terminals` (bijvoorbeeld `S -> aSb | ε`).
* Hoe te gebruiken: Laat zien dat elke string in de taal kan worden afgeleid van het startsymbool met behulp van de productieregels. Laat ook zien dat de grammatica *geen* tekenreeksen genereert die *niet* in de taal voorkomen.
* Voorbeeld:
* Taal:L ={a
n
b
n
| n ≥ 0} (Strings met gelijke aantallen 'a's en 'b's, in die volgorde)
* CFG:
* `S -> aSb | ε` (waarbij ε de lege string vertegenwoordigt)
* Uitleg:
* `S` genereert het kernpatroon `aSb`.
* Door de regel `S -> aSb` recursief toe te passen, kunt u een willekeurig aantal `a`s en `b`s creëren, waarbij u ervoor zorgt dat ze in evenwicht zijn.
* Met de regel `S -> ε` kunt u de recursie beëindigen en de lege string produceren (die ook in de taal is wanneer n=0).
2. Zorg voor een Pushdown-automaat (PDA):
* Gelijkwaardig aan CFG's: Elke taal die door een PDA wordt geaccepteerd, is contextvrij, en omgekeerd. Deze gelijkwaardigheid is een fundamenteel resultaat in de automatentheorie.
* PDA-definitie: Een PDA is een eindige automaat met een stapel. Het kan invoersymbolen lezen, de status ervan wijzigen en symbolen van de stapel duwen of laten ploffen.
* Hoe te gebruiken: Ontwerp een PDA die precies de strings in de taal accepteert. Vaak wordt de stapel gebruikt om "ongeëvenaarde" symbolen bij te houden.
* Voorbeeld (voor dezelfde taal L ={a
n
b
n
| n ≥ 0}):
* De PDA leest 'a's en schuift ze op de stapel.
* Wanneer hij een 'b' tegenkomt, springt hij een 'a' van de stapel.
* De PDA accepteert het als alle invoer is gelezen en de stapel leeg is.
* Belangrijk: Geef op hoe de PDA tussen statussen overgaat op basis van invoersymbolen en stapelinhoud.
3. Gebruik sluitingseigenschappen:
* Contextvrije talen zijn onder bepaalde bewerkingen gesloten. Dit betekent dat als u weet dat sommige talen contextvrij zijn, u ze kunt combineren met behulp van deze bewerkingen om nieuwe contextvrije talen te creëren.
* Sluitingseigenschappen:
* Unie: Als L1 en L2 contextvrij zijn, dan is L1 ∪ L2 contextvrij.
* Aaneenschakeling: Als L1 en L2 contextvrij zijn, dan is L1L2 contextvrij.
* Kleene Star ( * ): Als L contextvrij is, dan is L* contextvrij.
* Homomorfisme: Als L contextvrij is, en `h` een homomorfisme is (een functie die symbolen aan strings toewijst), dan is `h(L)` contextvrij.
* Invers homomorfisme: Als L contextvrij is, en `h` een homomorfisme is, dan is `h
-1
(L)` is contextvrij. (Invers homomorfisme neemt een string als invoer en retourneert de reeks strings die, wanneer het homomorfisme wordt toegepast, u de invoerstring opleveren).
* Hoe te gebruiken: Ontleed de doeltaal in eenvoudiger talen waarvan u *al weet* dat ze contextvrij zijn, en combineer ze vervolgens met behulp van afsluitingseigenschappen.
* Voorbeeld:
* Laat zien dat L ={a
n
b
n
c
m
d
m
| n, m ≥ 0} is contextvrij.
* L1 ={a
n
b
n
| n ≥ 0} is contextvrij (dit weten we al).
* L2 ={c
m
d
m
| m ≥ 0} is contextvrij (vergelijkbaar met L1).
* L =L1L2 (de aaneenschakeling van L1 en L2).
* Omdat L1 en L2 contextvrij zijn, en contextvrije talen gesloten zijn onder aaneenschakeling, is L contextvrij.
4. Lemma pompen voor contextvrije talen (om te bewijzen dat een taal *NIET* contextvrij is):
* Belangrijk: Het Pumping Lemma wordt gebruikt om te *weerleggen* dat een taal contextvrij is. Het kan niet worden gebruikt om te bewijzen dat een taal contextvrij is.
* Hoe het werkt: Het Pumping Lemma stelt dat er voor elke contextvrije taal L een pomplengte 'p' bestaat, zodat elke string 's' in L met een lengte van minstens 'p' in vijf delen kan worden verdeeld, s =uvxyz, waarbij:
1. |vxy| ≤ p (Het middengedeelte is niet te lang)
2. |vy| ≥ 1 (Het te herhalen deel is niet leeg)
3. Voor alle i ≥ 0, uv
i
xy
i
z is in L (je kunt 'v' en 'y' een willekeurig aantal keren herhalen, en de resulterende string is nog steeds in de taal).
* Bewijs door tegenspraak:
1. Veronderstel dat de taal contextvrij is.
2. Stel dat er een pomplengte 'p' bestaat, zoals beschreven in het lemma.
3. Kies een tekenreeks 's' in de taal die langer is dan 'p'. De keuze van de 's' is cruciaal. Het moet eigenschappen hebben die het pompen problematisch maken.
4. Overweeg *alle mogelijke* manieren om 's' in 'uvxyz' te verdelen die voldoen aan voorwaarden 1 en 2 van het Pumping Lemma.
5. Laat voor *elke* mogelijke deling zien dat er een 'i' bestaat (meestal i =0 of i =2), zodat uv
i
xy
i
z is *niet* in de taal.
6. Dit is in tegenspraak met het Pumping Lemma, dus de aanvankelijke aanname dat de taal contextvrij is, moet onjuist zijn.
Welke methode te gebruiken:
* Grammatica/PDA-constructie: De meest gebruikelijke en vaak gemakkelijkste manier om een taal *is* contextvrij weer te geven. Kies welke (CFG of PDA) gemakkelijker te construeren is voor de specifieke taal. Als de taal geneste of recursieve structuren lijkt te bevatten, is een grammatica vaak een goed startpunt. Als de taal zich leent voor stapelgedrag, overweeg dan om een PDA te gebruiken.
* Sluitingseigenschappen: Handig wanneer de taal kan worden uitgedrukt als een combinatie van eenvoudigere, reeds bekende contextvrije talen.
* Lemma pompen: Exclusief voor het tonen van een taal die *niet* contextvrij is.
Belangrijke overwegingen:
* Normale talen zijn contextvrij: Elke reguliere taal is ook contextvrij. Als u kunt aantonen dat een taal regulier is (door een DFA-, NFA- of reguliere expressie op te geven), heeft u ook aangetoond dat deze contextvrij is. Vaak zal een CFG of PDA echter de eenvoudigere aanpak zijn als de taal *duidelijk* contextvrij is.
* Niet-deterministische PDA's: Over het algemeen zijn PDA's niet-deterministisch. Deterministische PDA's (DPDA's) zijn minder krachtig; ze accepteren een goede subset van de contextvrije talen (de deterministische contextvrije talen genoemd). Tenzij expliciet vermeld, kun je ervan uitgaan dat je te maken hebt met algemene (niet-deterministische) contextvrije talen.
* Zorgvuldige definitie: Of u nu een grammatica of een PDA ontwerpt, wees zeer nauwkeurig in uw definities. Voorkom onduidelijkheid en leg duidelijk uit hoe uw constructie werkt.
* Voorbeelden: Doorloop talloze voorbeelden om een goed begrip van deze technieken te krijgen. Oefenen is de sleutel!
Samenvattend:om te *bewijzen* dat een taal contextvrij is, bouwt u er een CFG of PDA voor, of demonstreert u de contextvrijheid ervan via afsluitingseigenschappen. Gebruik het Pumping Lemma voor contextvrije talen om aan te tonen dat een taal *niet* contextvrij is. Succes! |
