Belangrijkste principes van dynamisch programmeren (DP)

Dynamisch programmeren is een algoritmische techniek die wordt gebruikt om optimalisatieproblemen op te lossen door ze op te splitsen in kleinere, overlappende subproblemen, waarbij elk subprobleem slechts één keer wordt opgelost en de resultaten worden opgeslagen om redundante berekeningen te voorkomen. Het is bijzonder geschikt voor problemen met een optimale onderstructuur en overlappende deelproblemen .

Hier is een overzicht van de belangrijkste principes:

1. Optimale onderbouw:

- Een probleem vertoont een optimale onderbouw als een optimale oplossing voor het probleem kan worden geconstrueerd uit optimale oplossingen voor de deelproblemen ervan. Dit betekent dat als u de optimale oplossing voor elk kleiner onderdeel kent, u ze kunt samenvoegen om de algehele optimale oplossing te vormen.

- Voorbeeld: Het kortste pad tussen twee steden in een grafiek heeft een optimale onderbouw. Elk subpad van het kortste pad moet ook het kortste pad tussen de eindpunten zijn.

2. Overlappende deelproblemen:

- Het probleem kan worden opgesplitst in deelproblemen die meerdere keren in de berekening worden hergebruikt. Dit betekent dat dezelfde deelproblemen herhaaldelijk worden opgelost als een naïeve recursieve benadering wordt gebruikt.

- Voorbeeld: Het recursief berekenen van het n-de Fibonacci-getal houdt in dat herhaaldelijk kleinere Fibonacci-getallen worden berekend (fib(3) wordt bijvoorbeeld meerdere keren berekend bij het berekenen van fib(5)).

3. Memoisatie (top-down) of tabellering (bottom-up):

- Memoisatie (van boven naar beneden): Deze aanpak begint met het oorspronkelijke probleem en splitst dit recursief op in subproblemen. De resultaten van elk opgelost subprobleem worden opgeslagen (meestal in een woordenboek of hashmap) om herberekening te voorkomen. Wanneer een subprobleem voor de tweede keer wordt aangetroffen, wordt het opgeslagen resultaat eenvoudigweg opgezocht en geretourneerd.

- Tabulatie (bottom-up): Deze aanpak berekent systematisch de oplossingen voor alle mogelijke deelproblemen op een bottom-up manier, beginnend met de kleinste deelproblemen en opbouwend naar het oorspronkelijke probleem. De resultaten worden doorgaans opgeslagen in een tabel (bijvoorbeeld een array of matrix).

4. Status:

- Een toestand vertegenwoordigt een specifieke configuratie van het probleem dat moet worden opgelost. Het definiëren van de staat is cruciaal voor het ontwerpen van een DP-oplossing. De staat moet alle informatie verzamelen die nodig is om een ​​deelprobleem onafhankelijk van andere deelproblemen op te lossen. Het aantal toestanden bepaalt doorgaans de ruimtecomplexiteit van de DP-oplossing.

- Voorbeeld: In het Knapzakprobleem zou een toestand kunnen worden gedefinieerd als '(index, capaciteit)', waarbij 'index' de tot nu toe beschouwde items vertegenwoordigt en 'capaciteit' de resterende capaciteit van de knapzak vertegenwoordigt.

5. Overgangen:

- Overgangen zijn de regels die beschrijven hoe de oplossing voor een bepaalde toestand moet worden berekend op basis van de oplossingen voor de deelproblemen ervan. Deze regels definiëren de relatie tussen de verschillende toestanden en stellen u in staat de oplossing op te bouwen uit kleinere deelproblemen. De overgangen worden doorgaans uitgedrukt als recursieve vergelijkingen.

- Voorbeeld: In de Fibonacci-reeks is de overgang `fib(n) =fib(n-1) + fib(n-2)`.

Toepassingen van dynamisch programmeren

Dynamisch programmeren wordt veelvuldig gebruikt in verschillende domeinen. Hier zijn enkele opmerkelijke toepassingen:

1. Optimalisatieproblemen:

* Algoritmen voor het kortste pad:

* Floyd-Warshall-algoritme: Vindt de kortste paden tussen alle paren hoekpunten in een gewogen grafiek.

* Bellman-Ford-algoritme: Vindt het kortste pad van een bronhoekpunt naar alle andere hoekpunten in een gewogen grafiek, zelfs met negatieve randgewichten (detecteert negatieve cycli).

* Knapzakprobleem: Bepaalt welke voorwerpen het meest waardevol zijn om in een knapzak op te nemen, zonder het draagvermogen ervan te overschrijden. Variaties zijn onder meer de 0/1 knapzak, de onbegrensde knapzak en de fractionele knapzak.

* Langste gemeenschappelijke subreeks (LCS): Vindt de langste reeks tekens die twee of meer tekenreeksen gemeen hebben. Gebruikt in bio-informatica (sequentie-uitlijning), bestandsvergelijking en tekstbewerking.

* Matrixketenvermenigvuldiging: Bepaalt de optimale volgorde voor het vermenigvuldigen van een reeks matrices om het aantal scalaire vermenigvuldigingen te minimaliseren.

* Afstand bewerken (Levenshtein-afstand): Berekent het minimumaantal bewerkingen (invoegingen, verwijderingen, vervangingen) dat nodig is om de ene tekenreeks in de andere te transformeren. Gebruikt in spellingcontrole, DNA-sequencing en natuurlijke taalverwerking.

* Probleem met het wisselen van munten: Vindt het minimumaantal munten dat nodig is om een ​​bepaald bedrag te verdienen, of het aantal manieren om een ​​bepaald bedrag te verdienen met een set munten.

* Reiziger-verkoperprobleem (TSP) (Held-Karp-algoritme): Vindt de kortst mogelijke route die elke stad precies één keer bezoekt en terugkeert naar de oorspronkelijke stad. Hoewel DP een *exacte* oplossing biedt voor kleine instanties, is het niet praktisch voor grote instanties (NP-hard).

2. Sequentieanalyse:

* Volgorde-uitlijning (bio-informatica): Het uitlijnen van DNA- of eiwitsequenties om overeenkomsten en verschillen te identificeren, vaak met behulp van algoritmen zoals Needleman-Wunsch (globale uitlijning) en Smith-Waterman (lokale uitlijning).

* Verborgen Markov-modellen (HMM's): Gebruikt in spraakherkenning, natuurlijke taalverwerking en bio-informatica voor het modelleren van sequentiële gegevens. Het Viterbi-algoritme, een DP-algoritme, wordt gebruikt om de meest waarschijnlijke reeks verborgen toestanden te vinden, gegeven een reeks observaties.

3. Grafiekalgoritmen:

* Alle paren kortste paden (Floyd-Warshall): Zoals hierboven vermeld.

* Netwerkstroomproblemen: Het vinden van de maximale stroom van een netwerk van een bron naar een put.

4. Speltheorie:

* Optimale strategieën vinden: In spellen als schaken of boter-kaas-en-eieren kan dynamische programmering worden gebruikt om de optimale zetten voor een speler te bepalen.

* Minimax-algoritme (met alfa-bèta-snoeien): Een variant van dynamische programmering die vaak wordt gebruikt bij het spelen van games om mogelijke spelstatussen te verkennen en de beste zet voor een speler te vinden.

5. Computervisie:

* Beeldsegmentatie: Een afbeelding verdelen in betekenisvolle gebieden of objecten. Dynamisch programmeren kan worden gebruikt om het segmentatieproces te optimaliseren.

6. Tekstverwerking:

* Tekstuitvulling: Het bepalen van de optimale manier om een ​​alinea tekst in regels op te delen om de rafeligheid van de rechtermarge te minimaliseren.

* Woordbrekend: Een reeks karakters in woorden opsplitsen.

7. Besturingssystemen:

* Optimale controle: Het bepalen van de besturingsinputs die een systeem op een optimale manier van de ene toestand naar de andere zullen sturen (bijvoorbeeld door het energieverbruik te minimaliseren).

Kiezen tussen onthouden en tabelleren:

* Memoisatie:

* Intuïtiefer en gemakkelijker te begrijpen voor sommige problemen.

* Berekent alleen de subproblemen die daadwerkelijk nodig zijn.

* Kan last hebben van stack-overflow voor zeer diepe recursie.

* Tabulatie:

* Doorgaans efficiënter in termen van constante factoren (geen recursie-overhead).

* Kan enkele subproblemen berekenen die niet nodig zijn.

* Vereist over het algemeen een zorgvuldige volgorde van berekeningen om ervoor te zorgen dat deelproblemen worden opgelost voordat ze nodig zijn.

Stappen om een ​​dynamisch programmeerprobleem op te lossen:

1. Definieer de staat: Bepaal de parameters die een subprobleem op unieke wijze identificeren.

2. Definieer de overgangen: Druk de oplossing voor een deelprobleem uit in termen van de oplossingen voor kleinere deelproblemen.

3. Identificeer de basisscenario's: Definieer de oplossingen voor de kleinste deelproblemen (het startpunt).

4. Implementeer het algoritme: Gebruik memoisatie (top-down) of tabellering (bottom-up) om de oplossingen te berekenen en op te slaan.

5. Bepaal de volgorde van berekening: Als u tabellering gebruikt, bepaal dan de juiste volgorde waarin u de deelproblemen wilt berekenen.

6. Extraheer de optimale oplossing: Zodra alle subproblemen zijn opgelost, extraheert u de optimale oplossing voor het oorspronkelijke probleem uit de opgeslagen resultaten.

Dynamisch Programmeren is een krachtige techniek, maar vereist een zorgvuldige analyse en probleemspecifiek ontwerp. Het begrijpen van de principes en het oefenen met verschillende voorbeelden is de sleutel tot het beheersen van deze algoritmische aanpak.