| Oké, laten we reguliere talen verkennen met voorbeelden en hun definities in de formele taaltheorie.
Wat zijn reguliere talen?
Op het gebied van de formele taaltheorie is een reguliere taal een taal (een reeks reeksen over een bepaald alfabet) die kan worden beschreven door:
* Regelmatige expressies: Een patroon dat een reeks tekenreeksen definieert.
* Deterministische eindige automaten (DFA): Een machine die de invoer één symbool tegelijk leest en op basis van de invoer tussen toestanden overschakelt. Het accepteert of verwerpt de invoer op basis van de eindstatus.
* Niet-deterministische eindige automaten (NFA): Vergelijkbaar met DFA's, maar maken meerdere mogelijke overgangen van een status mogelijk voor een bepaald invoersymbool (of zelfs overgangen zonder enige invoer te lezen).
* Regelmatige grammatica: Een type formele grammatica waarbij productieregels een specifieke vorm hebben.
Deze vier representaties zijn gelijkwaardig. Als u met één van deze talen een taal kunt definiëren, kunt u deze ook met alle talen definiëren. Dit is een fundamentele stelling in de formele taaltheorie.
Voorbeelden van reguliere talen
Hier zijn enkele voorbeelden, samen met hoe ze kunnen worden gedefinieerd met behulp van de hierboven genoemde methoden:
1. De taal van alle tekenreeksen boven {0, 1} die beginnen met een '1'.
* Regelmatige expressie: `1(0|1)*` (of `1[01]*`)
* `1` komt overeen met de vereiste '1' aan het begin.
* `(0|1)` betekent "0 of 1".
* `*` betekent "nul of meer exemplaren van de voorgaande groep."
* DFA:
```
0 1
--> q0 q1 q1 (q0 is de startstatus)
q1 q1 q1 (q1 is een accepterende toestand)
```
* `q0` is de begintoestand. Als de invoer begint met '1', gaat deze over naar de accepterende toestand 'q1'. Als het begint met '0', gaat het naar de niet-accepterende (dode) toestand.
* `q1` is de accepterende staat. Zodra het deze toestand bereikt, blijft het daarin en accepteert het elke verdere input.
* NFA: Een NFA kan op dezelfde manier worden gebouwd, maar kan een alternatief pad hebben vanuit de startstatus.
* Normale grammatica: (Rechts-lineair)
```
S -> 1A
A -> 0A | 1A | ε
```
* `S` is het startsymbool.
* `A` genereert elke combinatie van nullen en enen, inclusief de lege string (ε).
2. De taal van alle strings boven {a, b} die de substring "aba" bevatten.
* Regelmatige expressie: `(a|b)*aba(a|b)*` (of `[ab]*aba[ab]*`)
* `(a|b)*` komt overeen met elke reeks 'a's en 'b's (nul of meer).
* `aba` komt overeen met de vereiste subtekenreeks.
* DFA: Deze DFA heeft statussen om de voortgang van het matchen van "aba" te volgen:
```
een b
--> q0 q1 q0
q1 q1 q2
q2 q1 q0
q3 q3 q3 (q3 is een accepterende toestand)
```
* `q0`:Beginstatus. Geeft aan dat we geen enkel deel van "aba" hebben gezien.
* `q1`:Geeft aan dat we "a" hebben gezien.
* `q2`:Geeft aan dat we "ab" hebben gezien.
* `q3`:Geeft aan dat we "aba" (acceptatiestatus) hebben gezien. Eenmaal in `q3` blijft elke verdere invoer in `q3`.
* NFA: Voor deze taal kan een NFA eenvoudiger te construeren zijn. Het kan "raden" wanneer de "aba"-subtekenreeks zou kunnen beginnen.
* Normale grammatica:
```
S -> aS | bS | aA
A -> bB
B -> ac
C -> aC | bC | ε
```
3. De taal van alle tekenreeksen boven {0, 1} met een even aantal nullen.
* Regelmatige expressie: `1*(01*01*)*`
* `1*` :nul of meer enen
* `01*01*`:dit betekent dat de string een even aantal nullen moet hebben, aangezien elke 0 gevolgd moet worden door `1*01*`, dus deze is gepaard.
* DFA:
```
0 1
--> q0 q1 q0 (q0 is de start- en acceptatiestatus)
q1 q0 q1 (q1 is een niet-accepterende toestand)
```
* `q0`:Even aantal nullen (start- en acceptatiestatus).
* `q1`:Oneven aantal nullen.
* NFA: Er kan een NFA worden geconstrueerd, maar de DFA is vaak de meest eenvoudige weergave.
* Normale grammatica:
```
S -> 1S | 0A | ε
A -> 1A | 0S
```
4. De taal die alleen uit de tekenreeks "hallo" bestaat.
* Regelmatige expressie: `hallo`
* DFA:
```
Hallo
--> q0 q1 - - - - (q0 is de startstatus)
q1 - q2 - - -
q2 - - q3 - -
q3 - - - q4 -
v4 - - - - v5
q5 - - - - - (q5 is een accepterende toestand)
```
* Normale grammatica:
```
S -> hA
A -> eB
B -> lC
C -> lD
D -> o
```
Voorbeelden van talen die NIET regulier zijn
Deze talen kunnen *niet* worden weergegeven door reguliere expressies, DFA's, NFA's of reguliere grammatica's. Ze vereisen krachtigere formalismen zoals contextvrije grammatica's of Turing-machines.
1. De taal van tekenreeksen met een gelijk aantal 'a's en 'b's: {ε, ab, ba, aabb, abab, baba, bbaa, ...}
2. De taal van palindromen (tekenreeksen die voorwaarts en achterwaarts hetzelfde lezen): {ε, a, b, aa, bb, aba, bab, abba, ...}
3. De taal {a
n
b
n
| n>=0} :Strings met `n` 'a's gevolgd door `n` 'b's (bijv. ε, ab, aabb, aaabbb, ...). Dit is een klassiek voorbeeld dat vaak wordt gebruikt om de beperkingen van reguliere talen aan te tonen.
4. De taal {a
n
b
m
c
n
| n, m>=0} :Snaren met `n` a's, gevolgd door `m` b's en `n` c's. Dit is niet-regulier.
Waarom zijn deze talen niet regulier?
De belangrijkste beperking van reguliere talen is hun onvermogen om een willekeurige hoeveelheid informatie te ‘tellen’ of ‘te onthouden’. Een DFA-, NFA- of reguliere expressie heeft een eindig aantal toestanden of symbolen. Om talen als {a
n
te herkennen b
n
}, moet je bijhouden hoeveel 'a's je hebt gezien om er zeker van te zijn dat er hetzelfde aantal 'b's zijn. Een eindige automaat heeft niet de geheugencapaciteit om dit voor een willekeurig grote `n` te doen. Deze intuïtie wordt geformaliseerd door het *Pumping Lemma for Regular Languages*, een krachtig hulpmiddel om te bewijzen dat een taal *niet* regulier is.
Samenvatting
Reguliere talen vormen een fundamentele klasse van talen in de formele taaltheorie. Ze zijn eenvoudig te definiëren en te implementeren, waardoor ze nuttig zijn voor veel praktische toepassingen (bijvoorbeeld lexicale analyse in compilers, patroonvergelijking in teksteditors, netwerkroutering). Ze hebben echter beperkingen, en complexere talen vereisen krachtigere formalismen. |
