Het ‘snelste kortste pad-algoritme’ hangt sterk af van de specifieke kenmerken van uw grafiek:
1. Aard van de grafiek:
* Gewogen versus ongewogen: Zijn de randen van uw grafiek gekoppeld aan kosten of afstanden (gewogen), of worden alle randen geacht dezelfde kosten te hebben (ongewogen)?
* Geregisseerd versus ongericht: Zijn de randen directioneel (eenrichtingsstraten) of bidirectioneel (tweerichtingsstraten)?
* Cyclisch versus acyclisch: Bevat de grafiek cycli (paden die terug kunnen leiden naar hetzelfde knooppunt)?
* Dichtheid: Is de grafiek schaars (relatief weinig randen) of compact (veel randen)?
* Niet-negatieve gewichten: Zijn alle randgewichten niet-negatief? Dit is *cruciaal* voor een correcte werking van veel algoritmen. Als u negatieve gewichten heeft, is speciale behandeling vereist.
* Euclidisch versus niet-Euclidisch: Kun je geometrische eigenschappen gebruiken om afstanden tussen punten af te leiden?
2. Doel van het algoritme:
* Kortste pad met één bron: Het kortste pad vinden van een specifiek startknooppunt naar alle andere knooppunten in de grafiek.
* Kortste pad met één bestemming: Het kortste pad vinden van alle knooppunten naar een specifiek bestemmingsknooppunt (conceptueel hetzelfde als een enkele bron als je de richting van de randen omkeert).
* Kortste pad voor alle paren: Het kortste pad vinden tussen *elk* paar knooppunten in de grafiek.
* Heuristiek toegestaan? Als u akkoord gaat met een benadering en niet gegarandeerd bent dat het *absolute* kortste pad wordt bepaald, kunt u vaak veel snellere resultaten krijgen met heuristisch zoeken.
Hier volgt een overzicht van veelgebruikte algoritmen en hun typische gebruiksscenario's:
Voor ongewogen grafieken:
* Breedte-eerst zoeken (BFS): Dit is het *snelste* en eenvoudigste algoritme voor ongewogen grafieken. Het garandeert het vinden van het kortste pad (in termen van het *aantal* randen) van een bronknooppunt naar alle andere bereikbare knooppunten.
* Tijdcomplexiteit: O(V + E) waarbij V het aantal hoekpunten is en E het aantal randen.
Voor gewogen grafieken met niet-negatieve gewichten:
* Dijkstra's algoritme: Een van de meest gebruikte algoritmen voor het vinden van het kortste pad van een enkele bron naar alle andere knooppunten in een gewogen grafiek met *niet-negatieve* randgewichten.
* Tijdcomplexiteit:
* O(V^2) (met een eenvoudige array- of lijstimplementatie voor prioriteitswachtrij)
* O(E + V log V) (met behulp van een binaire heap of prioriteitswachtrij)
* O(E + V log* V) (met behulp van Fibonacci Heaps - minder gebruikelijk in de praktijk vanwege overhead)
* A* Zoeken: Een uitbreiding van het algoritme van Dijkstra dat een *heuristische* functie gebruikt om de zoekopdracht te begeleiden. Het is vaak aanzienlijk sneller dan dat van Dijkstra als je goede heuristische informatie hebt over de resterende afstand tot de bestemming.
* Tijdcomplexiteit: Hangt af van de heuristiek. In het beste geval (perfecte heuristiek) kan het erg snel zijn. In het ergste geval (slechte heuristiek) kan het net zo traag zijn als dat van Dijkstra.
* A* vereist een heuristiek die toelaatbaar is (nooit de kosten overschat om het doel te bereiken) en consistent (monotoon).
Voor gewogen grafieken met negatieve gewichten (en geen negatieve cycli):
* Bellman-Ford-algoritme: Kan grafieken met negatieve randgewichten verwerken, zolang er geen negatieve cycli zijn (cycli waarbij de som van de randgewichten negatief is). Als er een negatieve cyclus bestaat, kan deze deze detecteren.
* Tijdcomplexiteit: O(V * E)
Voor kortste paden met alle paren:
* Floyd-Warshall-algoritme: Vindt het kortste pad tussen *elk* paar hoekpunten in een gerichte of ongerichte grafiek. Het kan ook negatieve randgewichten verwerken (maar geen negatieve cycli).
* Tijdcomplexiteit: O(V^3)
* Johnson's algoritme: Kan ook de kortste paden van alle paren vinden en kan omgaan met negatieve randgewichten. Het is over het algemeen sneller dan Floyd-Warshall op *schaarse* grafieken. Het werkt door de randen opnieuw te wegen om negatieve gewichten te elimineren (met behulp van Bellman-Ford) en vervolgens het algoritme van Dijkstra vanaf elk hoekpunt uit te voeren.
* Tijdcomplexiteit: O(V^2 log V + VE)
Overzichtstabel
| Algoritme | Grafiektype | Randgewichten | Tijdcomplexiteit | Opmerkingen |
| ------------------ | ----------------------------------------- | ------------ | ------------------------- | ------------------------------------------------------- |
| BFS | Ongewogen | Geen | O(V + E) | Snelst voor ongewogen grafieken. |
| Dijkstra's | Gewogen, niet-negatief | Niet-negatief | O(E + V log V) | Algemeen, werkt goed met prioriteitswachtrij. |
| EEN* | Gewogen, niet-negatief | Niet-negatief | Heuristisch-afhankelijk | Kan veel sneller zijn dan die van Dijkstra als er een goede heuristiek bestaat. |
| Bellman-Ford | Gewogen, kan negatieve kanten hebben | Elke | O(V * E) | Kan negatieve cycli detecteren. |
| Floyd-Warshall | Gewogen, kan negatieve randen hebben (geen cycli) | Elke | O(V^3) | All-pairs kortste paden, goed voor compacte grafieken. |
| Johnson's | Gewogen, kan negatieve randen hebben (geen cycli) | Elke | O(V^2 log V + VE) | All-pairs kortste paden, beter dan Floyd-Warshall voor schaarse grafieken |
Praktische overwegingen en optimalisaties:
* Gegevensstructuren: De keuze van de datastructuur voor de prioriteitswachtrij in het algoritme van Dijkstra (bijvoorbeeld binaire heap, Fibonacci-heap) kan de prestaties aanzienlijk beïnvloeden, vooral voor grote grafieken.
* Heuristiek voor A*: Het kiezen van een goede heuristiek voor A* is cruciaal. Een goedgekozen heuristiek kan de zoektocht dramatisch versnellen. Veel voorkomende heuristieken zijn onder meer de Euclidische afstand (voor grafieken ingebed in een vlak) en de Manhattan-afstand.
* Grafiekweergave: De manier waarop u uw grafiek weergeeft (bijvoorbeeld de aangrenzende lijst, de aangrenzende matrix) kan ook de prestaties beïnvloeden. Aangrenzende lijsten hebben over het algemeen de voorkeur voor dunne grafieken, terwijl aangrenzende matrices efficiënter kunnen zijn voor compacte grafieken.
* Voorverwerking: Voor grafieken die herhaaldelijk worden opgevraagd, kunt u bepaalde informatie (bijvoorbeeld oriëntatiepunten, bomen met de kortste paden) vooraf berekenen om de daaropvolgende zoekopdrachten te versnellen.
* Wegennetwerken in de echte wereld: Voor wegennetwerken bieden gespecialiseerde algoritmen zoals Contraction Hierarchies (CH) en Customizable Route Planning (CRP) *veel* snellere zoektijden dan generieke algoritmen zoals die van Dijkstra, maar ze vereisen aanzienlijke voorbewerking. Deze worden vaak gebruikt in GPS-navigatiesystemen.
* Bibliotheken: Gebruik waar mogelijk geoptimaliseerde bibliotheken (bijvoorbeeld NetworkX in Python, JGraphT in Java). Deze bibliotheken bieden vaak sterk geoptimaliseerde implementaties van kortste pad-algoritmen.
Samengevat, om het 'snelste' algoritme voor uw situatie te bepalen:
1. Karakteriseer uw grafiek: Is het gewogen, ongewogen, gericht, schaars, compact, enz.?
2. Heeft u de kortste paden met één bron of met alle paren nodig?
3. Zijn er negatieve randgewichten aanwezig? Als dat zo is, bent u beperkt tot Bellman-Ford (enkele bron) of Johnson's/Floyd-Warshall (alle paren).
4. Indien niet-negatieve gewichten, overweeg dan Dijkstra's of A*. Indien A*, kunt u een goede heuristiek bedenken?
5. Voor ongewogen grafieken is BFS bijna altijd de beste keuze.
6. Profiel en benchmark: Experimenteer met verschillende algoritmen en datastructuren om te zien welke het beste presteert op uw specifieke dataset en hardware.
Kies het eenvoudigste algoritme dat aan uw behoeften voldoet. Gebruik Floyd-Warshall niet als u alleen de kortste paden met één bron nodig heeft. |